Question

17．已知函数f（x）=（x+2）ⁿ+（x-2）ⁿ，其中$n=3\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosxdx}$，则f（x）的展开式中x⁴的系数为（　　）

• A． 120
• B． -120
• C． 60
• D． 0

Answer 1

分析 利用定积分求出n，然后利用二项式定理求解即可．

解答 解：$n=3\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosxdx}$=3（sinx）${|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=3[sin$\frac{π}{2}$$-sin（-\frac{π}{2}）$]=6．
函数f（x）=（x+2）ⁿ+（x-2）ⁿ=（x+2）⁶+（x-2）⁶，
由T_r+1=${C}_{6}^{r}$x^6-r（-2）^r+${C}_{6}^{r}$x^6-r2^r，
令6-r=4，得r=2．
∴f （x）的展开式中的x⁴系数为2×2²•${C}_{6}^{2}$=120．
故选：A．

点评 本题考查定积分，二项式定理的应用，考查了基本初等函数的导数公式，是基础题．