Question

函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题：
①若函数 是，则一定是单函数；
②若为单函数，且，则；
③若定义在上的函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数；
④若函数是周期函数，则一定不是单函数；
⑤若函数是奇函数，则一定是单函数．
其中的真命题的序号是_______________．

Answer 1

②④

解析试题分析：因为，若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数。
①   函数f（x）=x²不是单函数，因为，f（－1）=f（1），显然－1≠1，
所以函数f（x）=x²（x∈R）不是单函数；
②   因为，函数f（x）是单函数，所以，f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，即且，则，②正确；
③   因为，如函数f（x）=x²在（0，+∞）上是增函数，而它不是单函数，即③不正确；
④   由周期函数的定义，知，④若函数是周期函数，则一定不是单函数正确；
⑤   若函数是奇函数，则一定是单函数，不正确，如函数，y=sinx是奇函数，显然不是的函数。
综上知，答案为②④。
考点：本题主要考查新定义“单函数”的概念。
点评：简单题，关键是理解新定义，注意严格审题，如“定义在上的函数在某区间上具有单调性”与“在定义域上具有单调性”，而这时不同的。