Question

【题目】设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中 t∈R．
（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；
（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的x1 ， x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当t=1时，f（x）=x2﹣2x+2，∴f（x）的对称轴为x=1，

∴f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，4]上单调递增，

∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，当x=4时，f（x）取得最大值f（4）=10．

∴f（x）在区间[0，4]上的取值范围是[1，10]

（2）解：∵f（x）＜5，∴x2﹣2x+2＜5，即x2﹣2x﹣3＜0，令g（x）=x2﹣2x﹣3，g（x）的对称轴为x=1．

①若a+1≥1，即a≥0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a+2）=a2+2a﹣3，

∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，

∴a2+2a﹣3＜0，解得0≤a＜1．

②若a+1＜1，即a＜0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a）=a2﹣2a﹣3，

∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，

∴a2﹣2a﹣3＜0，解得﹣1＜a＜0，

综上，实数a的取值范围是（﹣1，1）

（3）解：设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，

所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8”等价于“M﹣m≤8”．

①当t≤0时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（0）=2．

由M﹣m=18﹣8t﹣2=16﹣8t≤8，得t≥1．

从而 t∈．

②当0＜t≤2时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（t）=2﹣t2．

由M﹣m=18﹣8t﹣（2﹣t2）=t2﹣8t+16=（t﹣4）2≤8，得 ．，

③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2﹣t2．

由M﹣m=2﹣（2﹣t2）=t2≤8，得﹣2 ≤t≤2

2＜t≤2 ；

④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18﹣8t．

由M﹣m=2﹣（18﹣8t）=8t﹣16≤8，得t≤3．

从而 t∈．

综上，t的取值范围为区间[4﹣2 ，2 ]

【解析】（1）判断f（x）在[0，4]上的单调性，根据单调性求出f（x）的最值，得出值域；（2）令g（x）=f（x）﹣5，根据对称轴与区间[a，a+2]的关系求出g（x）的最大值，令gmax（x）＜0解出a的取值范围．（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，对任意的x1 ， x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8等价于M﹣m≤8，结合二次函数的性质可求
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．