[题目]设椭圆.定义椭圆的“伴随圆方程为,若抛物线的焦点与椭圆C的一个短轴端点重合.且椭圆C的离心率为．(1)求椭圆C的方程和“伴随圆 E的方程,(2)过“伴随圆 E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA.PB.A.B为切点.延长PA与“伴随圆 E交于点Q.O为坐标原点． (i)证明:PA⊥PB,(ii)若直线OP.OQ的斜率存在.设其分别为.试判断是否为定值.若是. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】设椭圆，定义椭圆的“伴随圆”方程为；若抛物线的焦点与椭圆C的一个短轴端点重合，且椭圆C的离心率为．

（1）求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；

（2）过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q，O为坐标原点．

(i)证明：PA⊥PB；

(ii)若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为，试判断是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）（2）(i)见解析，(ii)

【解析】试题分析：（1）先求抛物线焦点得，再由离心率求，最后写出椭圆标准方程及“伴随圆”方程（2）(i)联立切线方程与椭圆方程，利用判别式为零得，根据点P在“伴随圆”上得关于k的一元二次方程，利用韦达定理得，即得结论，(ii) 由切线方程与圆方程联立，结合韦达定理得，再根据斜率公式化简得定值

试题解析：（1）由题意得

（2）(i)设，切线方程为，与椭圆方程联立得，由得

把代入得，因此

当切线斜率不存在或等于零时，结论也成立

(ii)由切线方程与圆方程联立得，

所以，当切线斜率不存在时，结论也成立

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