【题目】已知 a∈R,函数 f(x)=a﹣ .
(1)证明:f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
(2)若f(x)为奇函数,求:
①a的值;
②f(x)的值域.
【答案】
(1)证明:证法一:设x1<x2,
则 ,
,
则f(x1)﹣f(x2)=(a﹣ )﹣(a﹣
)=
<0.
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),
故f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
证法二:∵函数 f(x)=a﹣ .
∴f′(x)= ,
∵f′(x)>0恒成立,
故f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增
(2)证明:①若f(x)为奇函数,
则 f(0)=a﹣ =0,
解得:a= ,
②f(x)= ﹣
,
∵2x+1>1,
∴0< <1,
故﹣ <f(x)<
,
故函数的值域为:(﹣ ,
)
【解析】(1)证法一:设x1<x2 , 作差比较作差可得f(x1)<f(x2),根据函数单调性的定义,可得:f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
证法二:求导,根据f′(x)>0恒成立,可得:f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增.(2)①若f(x)为奇函数,则 f(0)=0,解得a的值;
②根据①可得函数的解析式,进而可得f(x)的值域.
【考点精析】通过灵活运用函数的值域和函数单调性的判断方法,掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的;单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较即可以解答此题.
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【题目】《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每个人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,问最小一份为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系中圆C的参数方程为
(
为参数),以原点O为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
(1)求圆C的直角坐标方程及其圆心C的直角坐标;
(2)设直线与曲线
交于
两点,求
的面积.
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【题目】近年来,空气质量成为人们越来越关注的话题,空气质量指数(,简称
)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照
大小分为六级,
为优;
为良;
为轻度污染;
为中度污染;
为重度污染;大于300为严重污染.环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的
的茎叶图如下:
(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良()的天数;(按这个月总共30天计算)
(2)现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究,求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率;
(3)将频率视为概率,从本月中随机抽取3天,记空气质量优良的天数为,求
的概率分布列和数学期望.
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【题目】设椭圆,定义椭圆的“伴随圆”方程为
;若抛物线
的焦点与椭圆C的一个短轴端点重合,且椭圆C的离心率为
.
(1)求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程;
(2)过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA,PB,A,B为切点,延长PA与“伴随圆”E交于点Q,O为坐标原点.
(i)证明:PA⊥PB;
(ii)若直线OP,OQ的斜率存在,设其分别为,试判断
是否为定值,若是, 求出该值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线与直线
垂直(其中
为自然对数的底数).
(1)求的解析式及单调递减区间;
(2)是否存在常数,使得对于定义域内的任意
,
恒成立,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚,从中任取2枚棋子都是白色的概率为. 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸,乙后取,然后甲再取,……,取后均不放回,直到有一人取到白棋即终止. 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用
表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.
(1)求随机变量的概率分布列和数学期望
;
(2)求甲取到白棋的概率.
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