Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-

x

a(x+1)

．
（1）若函数f（x）在[0，+∞）内为增函数，求正实数a的取值范围．
（2）当a=1时，求f（x）在[-

1

2

，1]上的最大值和最小值；
（3）试利用（1）的结论，证明：对于大于1的任意正整数n，都有

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜lnn．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，则导数f′（x）≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立即可，分离参数即得a≥

1

x+1

对任意x∈[0，+∞）恒成立，a≥（

1

x+1

）_max（x∈[0，+∞））即可．
（2）a=1时，求f（x）的导数，再令导数等于0，得到的x的值为函数的极值点，在借助函数在[-

1

2

，1]的单调性，判断函数当x为何值时有最大值，何时有最小值．
（3）由（1）知，当a=1时，f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在[0，+∞）上是增函数，则f（x）≥f（0），即ln（1+x）≥

x

1+x

，x∈[0，+∞）成立．即ln

n+1

n

＞

1

n+1

，得证，或利用数学归纳法来证明也可．

解答：解：（1）∵f（x）=ln（x+1）-

x

a(x+1)

，∴f′（x）=

a(x+1)-1

a(x+1)2

（a＞0）．
∵函数f（x）在[0，+∞）内为增函数，∴f′（x）≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴a（x+1）-1≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，即a≥

1

x+1

对任意x∈[0，+∞）恒成立．
而当x∈[0，+∞）时，（

1

x+1

）_max=1，∴a≥1．
（2）当a=1时，f′（x）=

x

(x+1)2

．∴当x∈[-

1

2

，0）时，f′（x）＜0，f（x）在[-

1

2

，0）上单调递减，
当x∈（0，1]时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，∴f（x）在[-

1

2

，1]上有唯一极小值点，
故f（x）_min=f（0）=0．又f（-

1

2

）=1+ln

1

2

=1-ln2，f（1）=-

1

2

+ln2，
f（-

1

2

）-f（1）=

3

2

-2ln2=

3-ln16

2

=

lne3-ln16

2

∵e³＞16，
∴f（-

1

2

）-f（1）＞0，即f（-

1

2

）＞f（1）．∴f（x）在[-

1

2

，1]上的最大值为f（-

1

2

）=1-ln2．
综上，函数f（x）在[-

1

2

，1]上的最大值是1-ln2，最小值是 0．
（3）法一：用数学归纳法．
①当n=2时，要证

1

2

＜ln2，只要证ln4＞1，显然成立．
②假设当n=k时，不等式

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

k

＜lnk（k＞1，k∈N^*）成立．
则当n=k+1时，

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

k

+

1

k+1

＜lnk+

1

k+1

．要证lnk+

1

k+1

＜ln（k+1）成立，
只要证

1

k+1

＜ln

k+1

k

，即

1

k+1

＜ln（1+

1

k

）． 令

1

k

=x＞0，则上式化为

x

1+x

＜ln（1+x）（x＞0）．
只要证：ln（1+x）-

x

1+x

＞0（*）．
由（1）知，当a=1时，f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在[0，+∞）内是增函数，
故有f（x）≥f（0），即ln（1+x）≥

x

x+1

x∈[0，+∞）成立，而（*）中x=

1

k

（k＞1，k∈N^*），x＞0，
∴ln（1+x）-

x

1+x

＞0　即（*）式成立．∴当n=k+1时，不等式成立．
由①②知对任意n＞1的正整数不等式都成立．
法二：由（1）知，当a=1时，f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在[0，+∞）上是增函数，
故有f（x）≥f（0），即ln（1+x）≥

x

1+x

，x∈[0，+∞）成立．
令x=

1

n

（n∈N^*），则x＞0，∴有ln（1+x）＞

x

1+x

，即ln

n+1

n

＞

1

n+1

．
由此得ln

2

1

＞

1

2

，ln

3

2

＞

1

3

，ln

4

3

＞

1

4

，…，ln

n

n-1

＞

1

n

，
则ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

，即得lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．
故对大于1的任意正整数n．都有

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜lnn．

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查大小比较，解题的关键是正确求出导函数，合理构建不等式，属于中档题．