Question

已知函数f(x)=+x+（a-1）lnx+15a，其中a＜0，且a≠-1．
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)设函数（e是自然对数的底数）。是否存在a，使g(x)在[a，-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0，+∞)，，
(1)若-1＜a＜0，则当0＜x＜-a时，f′(x)＞0；
当-a＜x＜1时，f′(x)＜0；
当x＞1时，f′(x)＞0，
故f(x)分别在（0，-a），(1，+∞)上单调递增，在（-a，1）上单调递减；
(2)若a＜-1，仿(1)可得f(x)分别在(0，1)，（-a，+∞）上单调递增，在（1，-a）上单调递减；
(Ⅱ)存在a，使g(x)在[a，-a]上为减函数，
事实上，设h(x)=(-2x³+3ax²+6ax-4a²-6a)e^x(x∈R)，
则h′(x)=[-2x³+3(a-2)x²+12ax-4a²]e^x，
再设m（x）=-2x³+3（a-2）x²+12ax-4a²（x∈R），
则当g(x)在[a，-a]上单调递减时，h(x)必在[a，0]上单调递减，所以h′(a)≤0，
由于e^x＞0，因此m(a)≤0，
而m(a)=a²(a+2)，所以a≤-2，
此时，显然有g(x)在[a，-a]上为减函数，当且仅当f(x)在[1，-a]上为减函数，h(x)在[a，1]上为减函数，且h(1)≥e·f(1)，
由(Ⅰ)知，当a≤-2时，f(x)在[1，-a]上为减函数， ①
又，②
不难知道，，
因m′(x)=-6x²+6（a-2）x+12a=-6(x+2)(x-a)，
令 m′(x)=0，则x=a，或x=-2，而a≤-2，于是
(1)当a＜-2时，若a＜x＜-2，则m′(x)＞0；
若-2＜x＜1，则m′(x)＜0，
因而m(x)在（a，-2）上单调递增，在（-2，1）上单调递减；
(2)当a=-2时；m′(x)≤0，m(x)在（-2，1）上单调递减；
综合(1)、(2)知，当a≤-2时，m(x)在[a，1]上的最大值为m（-2）=-4a²-12a-8，
所以，，③
又对x∈[a，1]，m(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得，
亦即h′(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得．
因此，当a≤-2时，h(x)在[a，1]上为减函数，
从而由①，②， ③知，-3≤a≤-2；
综上所述，存在a，使g(x)在[a，-a]上为减函数，且a的取值范围为[-3，-2]．