Question

已知椭圆C以双曲线

x2

3

-y2=1的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于点M，N两点（M，N不是左右顶点），且以线段MN为直径的圆过椭圆C左顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由双曲线方程求出其顶点坐标和焦点坐标，得到椭圆的焦点和顶点坐标，结合条件b²=a²-c²求出b，则椭圆C的方程可求；
（2）设出M，N的坐标，联立直线和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后求出M，N的横坐标的和与积，代入

AM

•

AN

=0得到k与m的关系，从而证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解答：（1）解：由双曲线

x2

3

-y2=1，得c²=3+1=4，∴其焦点为（-2，0），（2，0）．顶点为（-

3

，0），（

3

，0）．
则所求椭圆的半长轴a=2，半焦距c=

3

，b²=a²-c²=4-3=1．
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+y2=1；
（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立方程组

y=kx+m x2 4 +y2=1

⇒(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，
得

x1+x2= -8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4 1+4k2

．
∵以MN为直径的圆过点A（-2，0），∴

AM

•

AN

=0，
即x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，整理得5m²-16km+12k²=0，
∴m=

6

5

k或m=2k，满足△＞0，
若m=2k，则直线l恒过定点A（-2，0），不合题意；
若m=

6

5

k，则直线l恒过定点(-

6

5

，0)．
∴则直线l恒过定点(-

6

5

，0)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了设而不求的解题思想方法和数学转化思想方法，解答的关键是把以线段MN为直径的圆过椭圆C左顶点A转化为向量数量积等于0解题，考查了学生的计算能力，是高考试卷中的压轴题．