Question

已知函数是奇函数，是偶函数．
（1）求m+n的值；
（2）设，若g（x）＞h[log₄（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由g（x）为定义在R上的奇函数，得g（0）=0，解得n=1；再根据偶函数满足f（-x）=f（x），比较系数可得m=-，由此即可得到m+n的值．
（2）由（1）得h（x）=log₄（4^x+1），易得h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2）．而定义在R上的增函数g（x）在x≥1时的最小值为g（1）=，从而不等式转化成＞log₄（2a+2），由此再结合真数必须大于0，不难解出实数a的取值范围．
解答：解：（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，
∴g（0）=0，即，…（3分）
∵，
∴，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），得mx=-（m+1）x恒成立，故，
综上所述，可得；…（4分）
（2）∵，
∴h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2），…（2分）
又∵在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x≥1时，…（3分）
由题意，得，
因此，实数a的取值范围是：．…（3分）
点评：本题给出含有指数和对数形式的函数，在已知奇偶性的情况下求参数m、n的值，并讨论不等式恒成立的问题，着重考查了对数函数图象与性质的综合应用、函数的奇偶性和不等式恒成立等知识点，属于中档题．