Question

设函数f（x）=2^x-ax+1．
（Ⅰ）利用计算机软件（如几何画板）探求a=2和a=3时函数f（x）的零点个数；
（Ⅱ）当a∈R时，函数f（x）的零点是怎样分布的？

Answer 1

解：（Ⅰ）利用几何画板得到函数f（x）=2^x-2x+1的函数图象，如图1所示，得到函数f（x）=2^x-2x+1没有零点；
利用几何画板得到函数f（x）=2^x-3x+1的函数图象，如图2所示，得到函数f（x）=2^x-3x+1有两个零点；

（Ⅱ）利用几何画板得到函数f（x）在a=2.48时的图象只有一个零点，如图3所示，

则①当a＜0或a=2.48时，函数f（x）=2^x-ax+1只有一个零点；
②当a∈[0，2.48）时，函数f（x）=2^x-ax+1没有零点；
③当a∈[2.48，+∞）时，函数f（x）=2^x-ax+1有两个零点；
分析：（Ⅰ）利用几何画板得到函数f（x）在a=2和a=3时的函数图象，进而得到此时零点个数；
（Ⅱ）利用几何画板建立在实数范围内变化参数a，并得到函数f（x）在a=2.48时的图象只有一个零点，
进而得到当a∈R时，函数f（x）的零点个数．
点评：本题考查函数的图象与函数的零点，属于基础题．