Question

设函数f(x)=

1

3

x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上是单调函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先由函数，求导，再由“函数f(x)=

1

3

x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上是单调函数”转化为“f′（x）=x²+2ax+5≥0或f′（x）=x²+2ax+5≤0在[1，3]上恒成立”，进一步转化为最值问题：a≥-（

5

2x

+

x

2

）或a≤-（

5

2x

+

x

2

）在[1，3]上恒成立，求得[-（

5

2x

+

x

2

）]max，[-（

5

2x

+

x

2

）]min即可．

解答：解：∵函数f(x)=

1

3

x3+ax2+5x+6
∴f′（x）=x²+2ax+5
∵函数f(x)=

1

3

x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上是单调函数
∴f′（x）=x²+2ax+5≥0或f′（x）=x²+2ax+5≤0在[1，3]上恒成立
即：a≥-（

5

2x

+

x

2

）或a≤-（

5

2x

+

x

2

）在[1，3]上恒成立
∴a≥[-（

5

2x

+

x

2

）]max或a≤[-（

5

2x

+

x

2

）]min
而3 ≥

5

2x

+

x

2

≥

5

∴a≥-

5

或a≤-3
故答案为：（-∞，-3]∪[-

5

，+∞)

点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．