Question

已知椭圆的一条准线方程是，其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x-5y=0．
（1）求椭圆C₁的方程及双曲线C₂的离心率；
（2）在第一象限内取双曲线C₂上一点P，连接AP交椭圆C₁于点M，连接PB并延长交椭圆C₁于点N，若．求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，由此能够求出椭圆C₁的方程及双曲线C₂的离心率．
（2）由A（-5，0），B（5，0），设M，得M为AP的中点，P点坐标为（2x+5，2y），将M、P坐标代入C₁、C₂方程得，解之得P（10，，直线PB：，由此能够求出．
解答：解：（1）由已知
∴椭圆的方程为，双曲线的方程．
又，
∴双曲线的离心率（5分）
（2）由（Ⅰ）A（-5，0），B（5，0），设M
得M为AP的中点，∴P点坐标为（2x+5，2y）
将M、P坐标代入C₁、C₂方程得，
消去y得2x²+5x-25=0，
解之得，
由此可得P（10，，直线PB：，
即
代入，
∴∴，∴x_N=x_M，
故MN⊥x轴，所以（12分）
点评：本题考查椭圆方程及双曲线离心率的求法，计算的值．解题时要熟练掌握解决直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．