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已知椭圆的一条准线方程是=1,过椭圆的左焦点F,且方向向量为=(1,1)的直线交椭圆于A、B两点,AB的中点为M.

(1)求直线OM的斜率(用、b表示):

(2)直线AB与OM的夹角为,当tan=2时,求椭圆的方程;

(3)当A、B两点位于第一、三象限时,求椭圆短轴长的取值范围.

解:(1)由题意可得:直线

    设A(),B(),

    则有

两式作差得:

因为=1,所以

(2)tan=

           =

    化简得,又因为=1,

    解得

    所以椭圆方程是=1.

    (3)由题意可得,直线,与椭圆方程联立

    得()+2+()=0,

    因为A、B两点位于第一、三象限,

    所以= <0,所以>c,

    因为=1,

    即

∴0<b<1,而b>c,所以短轴长2b的取值范围是(0,1)

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已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别是A、B;双曲线的一条渐近线方程为3x-5y=0.

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