Question

设

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），f（x）=

a

•

b

，x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈[0，

π

2

]，求x的值；
（2）若函数g（x）=cos(ωx-

π

3

)+k（ω＞0，k∈R）与f（x）的最小正周期相同，且g（x）的图象过点（

π

6

，2），求函数g（x）的值域及单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由已知根据平面向量的数量积公式，结合降幂公式（二倍角公式逆用）及辅助角公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质，结合已知x的范围可求满足f（x）=0的x
（2）由（1）中函数的解析式，及g（

π

6

）=2可求k，结合余弦型函数的值域及单调性，可求出函数g（x）的值域单调递增区间

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cos2x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1…（3分）
由f（x）=0得2sin(2x+

π

6

)+1=0
∴sin(2x+

π

6

)=-

1

2

∵x∈[0，

π

2

]∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴2x+

π

6

=

7π

6

∴x=

π

2

…（6分）
（2）由（1）知T=π∴ω=

2π

π

=2…（8分）g(

π

6

)=cos(

π

3

-

π

3

)+k=2∴k=1…（10分）
∴g（x）=cos(2x-

π

3

)+1cos(2x-

π

3

)∈[-1，1]
∴g（x）的值域为[0，2]，单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈z)．…（12分）

点评：本题考查向量数量积的运算律、二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用、正弦函数及余弦函数的性质的考查