Question

（2011•淄博二模）设

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），f（x）=

a

•

b

，x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x的值．
（2）若函数g（x）=cos（ωx-

π

3

）+k（ω＞0，k∈R）与f（x）的最小正周期相同，且g（x）的图象过点（

π

6

，2），求函数g（x）的值域及单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积的坐标公式，结合三角恒等变换化简得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1．由此解f（x）=0得出sin（2x+

π

6

）=-

1

2

，再由x的范围即可算出x=-

π

6

；
（2）g（x）与f（x）的最小正周期相同，可得ω=2．再由（

π

6

，2）在g（x）图象上，代入表达式解出k=1，得到g（x）=cos（2x-

π

3

）+1，结合三角函数的图象与性质，即可得出g（x）的值域及单调递增区间．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x
=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1                      …（3分）
由f（x）=0，得2sin（2x+

π

6

）+1=0，可得sin（2x+

π

6

）=-

1

2

，…（4分）
又∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，∴-

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

                       …（5分）
∴2x+

π

6

=-

π

6

，可得x=-

π

6

                                 …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
因为g（x）与f（x）的最小正周期相同，所以ω=2，…（7分）
又∵g（x）的图象过点（

π

6

，2），∴cos（2×

π

6

-

π

3

）+k=2，
由此可得1+k=2，解得 k=1，…（8分）
∴g（x）=cos（2x-

π

3

）+1，其值域为[0，2]，…（9分）
2kπ-π≤2x-

π

3

≤2kπ，（k∈Z）…（10分）
∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，（k∈Z），…（11分）
所以函数的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）．…（12分）

点评：本题给出三角函数表达式，求参数的值并求函数表达式、求函数的值域与单调区间．着重考查了三角函数的图象与性质、向量数量积运算和函数的值域等知识，属于中档题．