Question

在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB，PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧面与底面所成的角的正切值是

5

．

Answer 1

分析：先作出二面角的平面角，即取BC中点D，可证明∠ADP就是侧面与底面所成的二面角的平面角，再利用截面AMN⊥侧面PBC的特点，证明△PAD是等腰三角形，从而沟通了侧棱长和底面边长间的关系，最后在直角三角形中计算tan∠ADO即可

解答：解：如图，取MN中点O，连接AO，PO，延长PO交BC于点D，连接
AD，则BD=DC
∵三棱锥P-ABC为正三棱锥
∴AM=AN
∴AO⊥MN
∵截面AMN⊥侧面PBC
∴AO⊥侧面PBC
∴AO⊥PD，又PO=OD
∴PA=AD，且∠ADO就是侧面与底面所成的二面角的平面角
设AB=a，则AD=

3

2

a=PA
∵PD=

( 3 a 2 )2-( a 2 )2

=

2

2

a
∴OD=

2

4

a∴AO=

( 3 a 2 )2-( 2 a 4 )2

=

10

4

a
在Rt△AOD中，tan∠ADO=

AO

OD

=

10 4 a

2 4 a

=

5

∴三棱锥的侧面与底面所成的角的正切值是

5

故答案为

5

点评：本题考查了正三棱锥的性质，二面角的求法和面面垂直的性质，解题时要有空间想象力，要能恰当的沟通未知量之间的关系，能够用转化的思想方法将空间问题化为平面问题