Question

已知抛物线y²=2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（　　）

Answer 1

分析：如图所示，过焦点F作PF⊥x轴，交抛物线于点P，P′．则△OFP、△OFP′都是直角三角形．而tan∠POF=

PF

OF

=

p

p 2

=2＞1，可得∠POF＞45°．即∠POP′＞90°．于是△POP′不是直角三角形．即可得出符合条件的点P的个数．

解答：解：如图所示，
过焦点F作PF⊥x轴，交抛物线于点P，P′．则△OFP、△OFP′都是直角三角形．
而tan∠POF=

PF

OF

=

p

p 2

=2＞1，∴∠POF＞45°．∴∠POP′＞90°．
∴△POP′不是直角三角形．
综上可知：使得△POF是直角三角形的抛物线上的点P有且只有2个．
故选B．

点评：本题考查了抛物线的性质、直角三角形，属于基础题．