Question

如图所示，上午11时在某海岛上一观察点A测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处，12时40分轮船到达了位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，轮船始终以匀速直线前进．
（Ⅰ）求观测点A与B之间的距离；
（Ⅱ）求轮船的速度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，可知BC=4BE，设BE=xkm，则BC=4xkm在三角形EAC中，由正弦定理求得sinC，再在△ABC中，由正弦定理，求得AB即可得出观测点A与B之间的距离；
（Ⅱ）先△ABE中，由余弦定理，得BE的长，从而得出船速即可．

解答：解：（Ⅰ）依题意，上午11时在某海岛上一观察点A测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处，12时40分轮船到达了位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，轮船始终以匀速直线前进．
可知BC=4BE（1分）
设BE=xkm，则BC=4xkm
由已知，得∠BAE=30°，∠EAC=150°，
由正弦定理得

EC

sin∠EAC

=

AE

sinC

，所以sinC=

AE•sinEAC

EC

=

5sin150°

5x

=

1

2x

（5分）
在△ABC中，由正弦定理，得

BC

sin120°

=

AB

sinC

，（7分）
∴AB=

BC•sinC

sin120°

=

4x• 1 2x

3 2

=

4 3

3

．（9分）
所以观测点A与B之间的距离为

4 3

3

km（10分）
（Ⅱ）△ABE中，由余弦定理，得BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cos30°=

16

3

+25-2×

4 3

3

×5×

3

2

=

31

3

（13分）
所以船速v=

BE

t

=

93 3

1 3

=

93

（14分）
答：该船的速度为

93

km/h（15分）

点评：本题是中档题，考查利用正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，注意选择正确的三角形以及合理的定理解答是解好题目的关键，考查计算能力．