Question

20．若关于x的不等式e^x-ax-b≥0对任意实数x恒成立，则ab的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{e}$
• B． e²
• C． e
• D． $\frac{e}{2}$

Answer 1

分析 求出原函数的导数，再分别讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，从而得出ab的最大值．

解答 解：令f（x）=e^x-ax-b，则f′（x）=e^x-a，
若a=0，则f（x）=e^x-b＞-b，要使f（x）≥0，
则b≤0，此时ab=0；
若a＜0，则f′（x）＞0，函数f（x）函数单调增，当x→-∞时，f（x）→-∞，不可能恒有f（x）≥0；
若a＞0，由f′（x）=e^x-a=0，得极小值点x=lna，由f（lna）=a-alna-b≥0，得b≤a（1-lna），
ab≤a²（1-lna）．
令g（a）=a²（1-lna）．
则g′（a）=2a（1-lna）-a=a（1-2lna）=0，得极大值点a=${e}^{\frac{1}{2}}$，
而g（${e}^{\frac{1}{2}}$）=$\frac{e}{2}$，
∴ab的最大值为$\frac{e}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了函数的单调性，训练了导数在求最值中的应用，渗透了分类讨论思想，是中档题．