Question

【题目】已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线 上的点按坐标变换 得到曲线 ．
（1）求曲线 的普通方程；
（2）若点 在曲线 上，点 ，当点 在曲线 上运动时，求 中点 的轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）解： : ，

将 代入 的普通方程得 ，即 ；

（2）解：设 ， 则

所以 ，即

代入 ，得 ，即

中点 的轨迹方程为 .

【解析】分析：本题主要考查了椭圆的参数方程；圆的参数方程，解决问题的关键是（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若 有范围限制，要标出 的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式 及 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如 ， ， 的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以） 及方程的两边平方是常用的变形方法.
【考点精析】本题主要考查了圆的参数方程和椭圆的参数方程的相关知识点，需要掌握圆的参数方程可表示为；椭圆的参数方程可表示为才能正确解答此题．