【题目】已知曲线 的参数方程为 ( 为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线 上的点按坐标变换 得到曲线 .
(1)求曲线 的普通方程;
(2)若点 在曲线 上,点 ,当点 在曲线 上运动时,求 中点 的轨迹方程.
【答案】
(1)解: : ,
将 代入 的普通方程得 ,即 ;
(2)解:设 , 则
所以 ,即
代入 ,得 ,即
中点 的轨迹方程为 .
【解析】分析:本题主要考查了椭圆的参数方程;圆的参数方程,解决问题的关键是(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取恰当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法;(2)将参数方程转化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若 有范围限制,要标出 的取值范围;(3)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式 及 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形,构造形如 , , 的形式,进行整体代换,其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程的两边平方是常用的变形方法.
【考点精析】本题主要考查了圆的参数方程和椭圆的参数方程的相关知识点,需要掌握圆的参数方程可表示为;椭圆的参数方程可表示为才能正确解答此题.
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【题目】某商场举行抽奖活动,从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中,每次取出后放回,连续取两次,取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖,等于4中二等奖,等于3中三等奖.
(1)求中三等奖的概率;
(2)求中奖的概率.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,设点F(1,0),直线l:x=﹣1,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹的方程;
(2)记Q的轨迹的方程为E,过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD,设AB、CD的中点分别为M,N.求证:直线MN必过定点R(3,0).
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【题目】已知在直角坐标系 中,圆锥曲线 的参数方程为 ( 为参数),定点 , 是圆锥曲线 的左、右焦点.
(1)以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点 且平行于直线 的直线 的极坐标方程;
(2)设(1)中直线 与圆锥曲线 交于 两点,求 .
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【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的焦点F与抛物线E:y2=4x的焦点重合,直线x-y+=0与以原点O为圆心,以椭圆的离心率e为半径的圆相切.
(Ⅰ)直线x=1与椭圆交于不同的两点M,N,椭圆C的左焦点F1,求△F1MN的内切圆的面积;
(Ⅱ)直线l与抛物线E交于不同两点A,B,直线l′与抛物线E交于不同两点C,D,直线l与直线l′交于点M,过焦点F分别作l与l′的平行线交抛物线E于P,Q,G,H四点.证明:
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【题目】已知在直角坐标系 xOy 中,圆锥曲线 C 的参数方程为 ( 为参数),定点 , F1,F2 是圆锥曲线 C 的左,右焦点.
(1)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点 F1 且平行于直线AF2 的直线 l 的极坐标方程;
(2)在(1)的条件下,设直线 l 与圆锥曲线 C 交于 E,F 两点,求弦 EF 的长.
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【题目】如图1, 在直角梯形中, , , , 为线段的中点. 将沿折起,使平面 平面,得到几何体,如图2所示.
(1)求证: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
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