Question

【题目】已知函数f(x)＝x|x2－12|的定义域为[0，m]，值域为[0，am2]，则实数a的取值范围是_____．

Answer 1

【答案】a≥1

【解析】仅考虑函数f(x)在x>0时的情况，可知函数f(x)在x＝2时，取得极大值16.

令x3－12x＝16，解得，x＝4.作出函数的图象(如右图所示)．

函数f(x)的定义域为[0，m]，值域为[0，am2]，分为以下情况考虑：

①当0<m<2时，函数的值域为[0，m(12－m2)]，有m(12－m2)＝am2，所以a＝－m，因为0<m<2，所以a>4；

②当2≤m≤4时，函数的值域为[0, 16]，有am2＝16，所以a＝，因为2≤m≤4，所以1≤a≤4；

③当m>4时，函数的值域为[0，m(m2－12)]，有m(m2－12)＝am2，所以a＝m－，因为m>4，所以a>1.

综上所述，实数a的取值范围是a≥1.