Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的余弦值；
（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值．

Answer 1

分析：解法一： （1）欲证直线与直线垂直，可用先证直线与平面垂直．∵BA⊥AD，BA⊥PA，∴BA⊥平面PAD．∴PD⊥BA．又∵PD⊥AE，∴PD⊥平面BAE，∴PD⊥BE． （2）求异面直线所成的角，可以做适当的平移，把异面直线转化为相交直线，然后在相关的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移时主要是根据中位线和中点条件，或者是特殊的四边形，三角形等．过点E作EM∥CD交PC于M，连接AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角． （3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．延长AB与DC相交于G点，连PG，则面PAB与面PCD的交线为PG，易知CB⊥平面PAB，过B作BF⊥PG于F点，连CF，则CF⊥PG，∴∠CFB为二面角C-PG-A的平面角 解法二： 在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．则A（0，0，0），B（a，0，0），E(0， 1 2 a， 3 2 a)，C（a，a，0），D（0，2a，0），P(0，0， 2 3 3 a) （1） BE =(-a， 1 2 a， 3 2 a)， PD =(0，2a，- 2 3 2 a)，∴BE⊥PD （2）由（1）知， AE =(0， 1 2 a， 3 2 a)， CD =（-a，a，0）设 AE 与 CD 所成角为θ则cosθ= AE • CD | AE |•| CD | = 0×(-a)+ 1 2 a•a+ 3 2 a•0 02+( 1 2 a)2+( 3 2 a)2 • (-a)2+a2+02 = 2 4 （3）利用平面PAB与平面PCD的法向量所成的角，去求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值．

解答：解法一：（1）∵∠BAD=90°，∴BA⊥AD ∵PA⊥底面ABCD，BA⊥PA．又∵PA∩AD=A，BA⊥PA．又∵PA∩AD=A， ∴BA⊥平面PAD． ∵PD?平面PAD． ∴PD⊥BA．又∵PD⊥AE，且BA∩AE=A， ∴PD⊥平面BAE ∴PD⊥BE，即BE⊥PD．（4分） （2）过点E作EM∥CD交PC于M，连接AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角 ∵PA⊥底面ABCD，且PD与底面ABCD成30°角． ∴∠PDA=30°． ∴在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠PDA=30°，AD=2a ∴PA= 2 3 3 a，PD= 4 3 3 a． ∴AE= PA•AD PD = 2 3 3 a•2a 4 3 3 a =a． ∵PE= PA2 PD = ( 2 3 3 a)2 4 3 3 a = 3 3 a，CD= 2 a． ∴ME= CD•PE PD = 2 a• 3 3 a 4 3 3 a = 2 4 a． 连接AC ∵在△ACD中AD=2a，AC= 2 a，CD= 2 a， AD2=AC2+CD2 ∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∴ME⊥AC 又∵PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥CD，∴ME⊥PA． ∴ME⊥平面PAC．∵MA?平面PAC， ∵ME⊥AM． ∴在Rt△AME中，cos∠MEA= ME AE = 2 4 ． ∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为 2 4 （9分） （3）延长AB与DC相交于G点，连PG，则面PAB 与面PCD的交线为PG，易知CB⊥平面PAB，过B作BF⊥PG于F点，连CF，则CF⊥PG， ∴∠CFB为二面角C-PG-A的平面角， ∵CB∥ 1 2 AD， ∴GB=AB=a，∠PDA=30°，PA= 2 3 3 a，AG=2a． ∴∠PGA=30°， ∴BF= 1 2 GB= a 2 ，tanBFC= a a 2 =2， ∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的正切值为2．（14分） 解法二：（1）如图建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（a，0，0），E(0， 1 2 a， 3 2 a)，C（a，a，0）， D（0，2a，0），P(0，0， 2 3 3 a) ∴ BE =(-a， 1 2 a， 3 2 a)， PD =(0，2a，- 2 3 2 a)， ∴ BE • PD =(-a)×0+ 1 2 a•2a+ 3 2 a•(- 2 3 2 )=0， ∴BE⊥PD（4分） （2）由（1）知， AE =(0， 1 2 a， 3 2 a)， CD =（-a，a，0）设 AE 与 CD 所成角为θ 则cosθ= AE • CD | AE |•| CD | = 0×(-a)+ 1 2 a•a+ 3 2 a•0 02+( 1 2 a)2+( 3 2 a)2 • (-a)2+a2+02 = 2 4 ， ∴异面直线AE与CD所成角的余统值为 2 4 ．（9分） （3）易知，CB⊥AB，CB⊥PA， 则CB⊥平面PAB．，∴ BC 是平面PAB的法向量．∴ BC =（0，a，0）． 又设平面PCD的一个法向量为 m =(x，y，z)， 则 m ⊥PC， m ⊥CD．而 PC =(a，a，- 2 3 3 a)， CD =（-a，a，0）， ∴由 m • PC =0， m • CD =0． 得 ax+ay- 2 3 3 az=0 -ax+ay=0. ∴ x=y z= 3 y. 令y=1，，∴ m =(1，1， 3 ) 设向量 BC 与 m 所成角为θ， 则cosθ= BC • m | BC |•| m | = 0×1+a×1+0× 3