Question

17．函数y=$\frac{cosx+5}{2-cosx}$的值域为[$\frac{4}{3}，6$]．

Answer 1

分析 把原函数解析式变形，得到$cosx=\frac{2y-5}{y+1}$，借助于三角函数的有界性求解分式不等式组得答案．

解答 解：由y=$\frac{cosx+5}{2-cosx}$，得2y-ycosx=cosx+5，即（y+1）cosx=2y-5，
∴$cosx=\frac{2y-5}{y+1}$，
由-1≤cosx≤1，得$-1≤\frac{2y-5}{y+1}≤1$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2y-5}{y+1}≥-1①}\\{\frac{2y-5}{y+1}≤1②}\end{array}\right.$，
解①得：y＜-1或y$≥\frac{4}{3}$；
解②得：-1＜y≤6．
∴函数y=$\frac{cosx+5}{2-cosx}$的值域为[$\frac{4}{3}，6$]．
故答案为：[$\frac{4}{3}，6$]．

点评 本题考查函数值域的求法，训练了利用三角函数的有界性求函数的值域，是基础题．