Question

若函数f(x)=log

1

2

1-ax

x-1

为奇函数（a为常数）．
（1）求a的值；
（2）用函数单调性定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增．

Answer 1

分析：（1）由于已知函数是奇函数，根据奇函数的定义可得f（-x）+f（x）=0，结合对数的运算性质解方程可得a的值；
（2）由（1）得函数的解析式，设x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，根据对数的性质，判断f（x₁）-f（x₂）与0的关系，进而根据单调性的定义，可得答案．

解答：解：（1）∵函数f(x)=log

1

2

1-ax

x-1

为奇函数
∴f(-x)+f(x)=log

1

2

1+ax

-x-1

+log

1

2

1-ax

x-1

=log

1

2

1+ax

-x-1

•

1-ax

x-1

=0
即

1+ax

-x-1

•

1-ax

x-1

=1
解得a=-1    （6分）
（2）设x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
∴2x₂-2x₁＞0
∴f(x1)-f(x2)=log

1

2

1+x1

x1-1

-log

1

2

1+x2

x2-1

=log

1

2

x2-x1+x1x2-1

x1-x2+x1x2-1

又∵

x2-x1+x1x2-1

x1-x2+x1x2-1

＞1
∴log

1

2

x2-x1+x1x2-1

x1-x2+x1x2-1

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在区间（1，+∞）内单调递增．      （14分）

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的奇偶性和函数的单调性，其中熟练掌握函数奇偶性与单调性的定义是解答本题的关键．