Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对一切x、y＞0，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）f(2)=-

1

2

时，解不等式f（ax+4）＞-1．

Answer 1

分析：（1）任取两个变量且界定大小，由主条件将f（x₂）-f（x₁）变形为f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）再利用x＞0时，f（x）＜0得证．
（2）将原不等式转化为f（ax+4）＞f（2+2）=f（4）由（1）知f（x）在（0，+∞）上为减函数，得到0＜ax+4＜4，再按照一元一次不等式求解．

解答：解：（1）任取0＜x₁＜x₂＜+∞，则x₂-x₁＞0
∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）
=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．

（2）∵f（2）+f（2）=-1
∴f（ax+4）＞f（2+2）=f（4）
由（1）知f（x）在（0，+∞）上为减函数，∴0＜ax+4＜4
当a＞0时，解得-

4

a

＜x＜0
当a＜0时，解得0＜x＜-

4

a

当a=0时，无解

点评：本题主要考查抽象函数证明单调性问题和应用单调性解抽象不等式问题．