Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)=

(4k-1)ln 1 x ，x∈(0 ， e] kx2-kx，x∈(e ， +∞)

是增函数
（1）求常数k的取值范围
（2）过点（1，0）的直线与f（x）（x∈（e，+∞））的图象有交点，求该直线的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意得

1-4k＞0 k＞0 1-4k≤ke2-ke

，由此解得常数k的取值范围．
（2）设过点（1，0）的直线为y=m（x-1），联立

y=m(x-1) y=kx2-kx

，解得m=kx，再由x∈（e，+∞）可得m=kx＞ke，即得直线的斜率取值范围．

解答：解：（1）由题意得

1-4k＞0 k＞0 1-4k≤ke2-ke

，解得 

1

e2-e+4

≤k＜

1

4

，从而k的取值范围为[

1

e2-e+4

，

1

4

)．
（2）设过点（1，0）的直线为y=m（x-1），联立

y=m(x-1) y=kx2-kx

，解得m（x-1）=kx²-kx，
由于x＞e，所以m=kx，m=kx＞ke，即直线的斜率取值范围为（ke，+∞）．

点评：本题主要考查对数函数的单调性的判断和应用，直线的斜率，属于基础题．