Question

14．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1+2\sqrt{2}t\end{array}\right.$（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．
（Ⅰ）求圆C及l的直角坐标方程；
（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）圆C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，展开可得：ρ²=2$\sqrt{2}×ρ$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ-sinθ），利用互化公式可得可得直角坐标方程．由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1+2\sqrt{2}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程．
（II）求出圆心C（1，-1）到直线l的距离d，可得|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．可得点P到直线AB的距离的最大值为r+d，即可得出△PAB面积的最大值．

解答 解：（I）圆C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，展开可得：ρ²=2$\sqrt{2}×ρ$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ-sinθ），可得直角坐标方程：x²+y²=2x-2y，配方为：（x-1）²+（y+1）²=2．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1+2\sqrt{2}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程：$2\sqrt{2}$x-y-1=0．
（II）r=$\sqrt{2}$，圆心C（1，-1）到直线l的距离d=$\frac{|2\sqrt{2}+1-1|}{\sqrt{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．
∴点P到直线AB的距离的最大值为r+d=$\sqrt{2}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
∴S_max=$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{10}}{3}$×$\frac{5\sqrt{2}}{3}$=$\frac{10\sqrt{5}}{9}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．