Question

9．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点．
（1）求异面直线EF与BC所成的角的正切值．
（2）求三棱锥C-B₁D₁F的体积．

Answer 1

分析 （1）连结BD₁，则∠D₁BC位所求线面角，在Rt△BCD₁中计算tan∠D₁BC；
（3）证明CF⊥平面BDD₁B₁，则V${\;}_{C-{B}_{1}{D}_{1}F}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}{D}_{1}F}•CF$．

解答 解：（1）连接BD₁，
∵E，F分别为线段DD₁，BD的中点，∴EF∥BD₁，
故∠D₁BC即为异面直线EF与BC所成的角．
∵BC⊥平面CDD₁C₁，CD₁?平面CDD₁C₁，
∴BC⊥CD₁．
∵正方体棱长为2，∴CD₁=2$\sqrt{2}$，
∴tan∠D₁BC=$\frac{C{D}_{1}}{BC}$=$\sqrt{2}$，
所以异面直线EF与BC所成的角的正切值为$\sqrt{2}$．
（2）∵BB₁⊥平面ABCD，CF?平面ABCD，
∴BB₁⊥CF，
∵CB=CD，F是BD中点，
∴CF⊥BD，又BB₁∩BD=B，BB₁?平面BDD₁B₁，BD?平面BDD₁B₁，
∴CF⊥平面BDD₁B₁，
又CF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，S${\;}_{△{B}_{1}{D}_{1}F}$=$\frac{1}{2}×{B}_{1}{D}_{1}×B{B}_{1}$=2$\sqrt{2}$．
∴V${\;}_{C-{B}_{1}{D}_{1}F}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}{D}_{1}F}•CF$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$，
所以三棱锥C-B₁D₁F的体积为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了空间角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．