Question

4．如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为$4（\sqrt{2}+1）$．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）探究$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为$4（\sqrt{2}+1）$，求出a，b，从而能求出椭圆的标准方程，设等轴双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{m^2}=1$，由等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，求出m，从而能求出双曲线的标准方程．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），F₁（-2，0），F₂（2，0），则k₁=$\frac{y_0}{{{x_0}+2}}$，${k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}$，由此能证明k₁k₂=1．
（Ⅲ）PF₁的方程为y=k₁（x+2），将其代入椭圆方程得$（{2{k_1}^2+1}）{x^2}+8{k_1}^2x+8{k_1}^2-8=0$，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能推导出$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$是定值．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知：$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，2a+2c=4（$\sqrt{2}$+1）
解得a=2$\sqrt{2}$，c=2，
又a²=b²+c²，解得b=2．
故椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
由题意设等轴双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{m^2}=1$（m＞0），
因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点．
所以m=2，
因此双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$
证明：（Ⅱ）设P（x₀，y₀），F₁（-2，0），F₂（2，0）
则k₁=$\frac{y_0}{{{x_0}+2}}$，${k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}$．
因为点P在双曲线x²-y²=4上，所以$x_0^2-y_0^2=4$．
因此${k_1}{k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}•\frac{y_0}{{{x_0}-2}}=\frac{y_0^2}{x_0^2-4}=1$，
故k₁k₂=1．
解：（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于PF₁的方程为y=k₁（x+2），将其代入椭圆方程得$（{2{k_1}^2+1}）{x^2}+8{k_1}^2x+8{k_1}^2-8=0$
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{{8{k_1}^2}}{{2{k_1}^2+1}}，\;{x_1}•{x_2}=\frac{{8{k_1}^2-8}}{{2{k_1}^2+1}}$，
所以$|{AB}|=\sqrt{1+{k_1}^2}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{1+{k_1}^2}\sqrt{{{（{\frac{{8{k_1}^2}}{{2{k_1}^2+1}}}）}^2}-4×\frac{{8{k_1}^2-8}}{{2{k_1}^2+1}}}$=$4\sqrt{2}\frac{{{k_1}^2+1}}{{2{k_1}^2+1}}$
同理可得$|{CD}|=4\sqrt{2}\frac{{{k_2}^2+1}}{{2{k_2}^2+1}}$．
则$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}=\frac{1}{{4\sqrt{2}}}（\frac{{2{k_1}^2+1}}{{{k_1}^2+1}}+\frac{{2{k_2}^2+1}}{{{k_2}^2+1}}）$，
又k₁k₂=1，
所以$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}=\frac{1}{{4\sqrt{2}}}（\frac{{2{k_1}^2+1}}{{{k_1}^2+1}}+\frac{{\frac{2}{{{k_1}^2}}+1}}{{\frac{1}{{{k_1}^2}}}}）$=$\frac{{\sqrt{2}}}{8}（\frac{{2{k_1}^2+1}}{{{k_1}^2+1}}+\frac{{{k_1}^2+2}}{{{k_1}^2+1}}）=\frac{{3\sqrt{2}}}{8}$．
故$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{8}$恒成立，即$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$是定值$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查椭圆和双曲线的标准方程的求示，考查两直线的斜率之积为1的证明，考查两线段长的倒数和是否为定值的探究，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、椭圆的性质的合理运用．