Question

17．在△ABC中，D在边AC上，AB=4，AC=6，BD=2$\sqrt{6}$，BC=2$\sqrt{10}$．则∠A+∠CBD=（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 在△ABC中，由余弦定理可得：cosA=$\frac{1}{4}$，设AD=x，由余弦定理，BD²=AB²+AD²-2AB?ADcosA，解得x=4，可得CD=2．在△ABC中，由正弦定理可得：sinC，由正弦定理可得sin∠CBD=$\frac{CDsinC}{BD}$，可得cosA=sin∠CBD=sin$（\frac{π}{2}-A）$，即可得出．

解答 解：在△ABC中，由余弦定理可得：cosA=$\frac{{4}^{2}+{6}^{2}-（2\sqrt{10}）^{2}}{2×4×6}$=$\frac{1}{4}$，
设AD=x，由余弦定理，BD²=AB²+AD²-2AB?ADcosA，得24=16+x²-4 x即x²-4x-8=0，解得x=4或x=-2（舍），
∴CD=2．∵cosA=$\frac{1}{4}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
在△ABC中，由正弦定理可得：sinC=$\frac{4×\frac{\sqrt{15}}{4}}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴sin∠CBD=$\frac{CDsinC}{BD}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{6}}{4}}{2\sqrt{6}}$=$\frac{1}{4}$，
∵CD＜BD，∴∠CBD为锐角．
∴cosA=sin∠CBD=sin$（\frac{π}{2}-A）$，
∴∠A+∠CBD=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．