Question

8．已知a＜-1，函数f（x）=|x³-1|+x³+ax（x∈R）．
（I）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，试判断f（x₁x₂）与a+1的大小关系．

Answer 1

分析 （I）a＜-1，f（x）=|x³-1|+x³+ax=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}+ax-1，x≥1}\\{ax+1，x＜1}\end{array}\right.$，分类讨论，再利用导数研究函数的单调性，从而求得求得它的最小值．
（Ⅱ）证明x₁x₂＞1，即可证明f（x₁x₂）＞f（1）=a+1．

解答 解：（I）∵a＜-1，f（x）=|x³-1|+x³+ax=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}+ax-1，x≥1}\\{ax+1，x＜1}\end{array}\right.$，
若-$\frac{a}{6}$≥1，即a≤-6时，则当x＞1时，f（x）=2x³+ax-1，f′（x）=6x²+a，令f′（x）=0，求得x=$\sqrt{-\frac{a}{6}}$．
故在（1，$\sqrt{-\frac{a}{6}}$）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
在（ $\sqrt{-\frac{a}{6}}$，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
当x＜1时，函数f（x）=ax+1，函数单调递减，故f（x）在（-∞，$\sqrt{-\frac{a}{6}}$）上单调递减，
在（$\sqrt{-\frac{a}{6}}$，+∞）上单调递增，
故函数f（x）的最小值为f（$\sqrt{-\frac{a}{6}}$）=$\frac{2}{3}$a•$\sqrt{-\frac{a}{6}}$-1．
若-$\frac{a}{6}$＜1，即-1＞a＞-6时，
则当x＞1时，f（x）=2x³+ax-1，f′（x）=6x²+a，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
当x＜1时，函数f（x）=ax+1，函数单调递减，
故f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
故f（x）的最小值为f（1）=1+a．
综上可得，f_min（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{3}•\sqrt{-\frac{a}{6}}-1，a≤-6}\\{1+a，-6＜a＜-1}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，不妨令x₁＜x₂，
则x₁=-$\frac{1}{a}$∈（$\frac{1}{6}$，1），x₂＞1，
x₂-$\frac{1}{{x}_{1}}$=x₂+a=x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$2{{x}_{2}}^{2}$，
令y=x+$\frac{1}{x}$+2x²，y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+4x＞0，∴函数在（1，+∞）上单调递增，
∴y＞4＞0，
∴x₂-$\frac{1}{{x}_{1}}$＞0，
∴x₁x₂＞1，
故f（x₁x₂）＞f（1）=a+1．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，函数的零点，本题转化复杂，运算量大，属于难题．