Question

20．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点为F₁，F₂，M为短轴端点，且S_△MF1F2=4，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点O作两条射线，与椭圆C分别交于A，B两点，且满足$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）由M为椭圆短轴端点，且S_△MF1F₂=4，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）推导出两条射线OA、OB互相垂直，当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为$x=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，原点与直线AB的距离$d=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出弦AB的长度的最小值．

解答 解：（1）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，M为短轴端点，且S_△MF1F₂=4，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴由题意得${S_{△M{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}×2c×b=4$，$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a²=b²+c²，…2分
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，…3分
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．…4分
（2）证明：∵$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即两条射线OA、OB互相垂直．…5分
当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为$x=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
此时原点与直线AB的距离$d=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，…6分
当直线AB斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+m，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得x²+2（kx+m）²=8，
即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
则△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$，…8分
${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}$+km（x₁+x₂）+m²
=$\frac{{k}^{2}（2{m}^{2}-8）}{1+2{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+m²
=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，
∴3m²-8k²-8=0，∴${m^2}=\frac{{8（{k^2}+1）}}{3}$…9分
∴O到直线AB的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{\frac{{8（{k^2}+1）}}{3}}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
综上：O到直线AB的距离为定值$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．…10分
∵OA⊥OB，∴AB²=OA²+OB²≥2OA•OB，当且仅当OA=OB时取“=”号．
∴$OA•OB≤\frac{A{B}^{2}}{2}$，…11分
又d•AB=OA•OB，∴$d•AB≤\frac{A{B}^{2}}{2}$，
∴$AB≥2d=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，
∴弦AB的长度的最小值是$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$．…13分．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的最小值的求法，是难题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式、椭圆性质的合理运用．