Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x-1，2），$\overrightarrow{b}$=（4，y），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则点P（x，y）到原点的距离的最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根据向量垂直于向量数量积的关系建立方程，利用点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即4（x-1）+2y=0，
即2x+y-2=0，
则点P（x，y）到原点的距离的最小值为当P垂直直线时取得最小值，
此时最小值为d=$\frac{|-2|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查向量数量积的应用以及点到直线的距离公式的计算，根据向量垂直转化向量数量积是解决本题的关键．