Question

3．A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的中心，D是AB的中点，动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$[（2-2λ）$\overrightarrow{OD}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]（λ∈R），则点P的轨迹一定过△ABC的（　　）

• A． 内心
• B． 外心
• C． 垂心
• D． 重心

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$[（2-2λ）$\overrightarrow{OD}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]（λ∈R），且$\frac{1}{3}（2-2λ）+\frac{1}{3}（1+2λ）=1$，得到点P的轨迹一定过△ABC的重心．

解答 解：∵A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的中心，D是AB的中点，
动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$[（2-2λ）$\overrightarrow{OD}$+（1+2λ）$\overrightarrow{OC}$]（λ∈R），
且$\frac{1}{3}（2-2λ）+\frac{1}{3}（1+2λ）=1$，
∴P、C、D三点共线，
∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．
故选：D．

点评 本题考查三角形五心性质的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量性质的合理运用．