Question

12．已知正实数a，b满足$\frac{a+b}{ab}$=1，则a+2b的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，从而得到$a+2b=（a+2b）（{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}）=3+\frac{2b}{a}+\frac{a}{b}$．由此利用基本不等式能求出a+2b的最小值．

解答 解：∵正实数a，b满足$\frac{a+b}{ab}$=1，
即$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，
∴$a+2b=（a+2b）（{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}）=3+\frac{2b}{a}+\frac{a}{b}≥3+2\sqrt{2}$．
当且仅当$\frac{2b}{a}=\frac{a}{b}$时，取等号，
∴a+2b的最小值是3+2$\sqrt{2}$．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意基本不等式的性质的合理运用．