Question

1．已知椭圆C的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A，A'两点，|AA'|=$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点E，F，与椭圆C相交于不同的两点G，H，求△OEF的面积最大时弦长|GH|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C的离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A，A'两点，|AA'|=$\sqrt{2}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）当$∠EOF=\frac{π}{2}$时，S_△OEF最大，此时|EF|=$\sqrt{2}$，点O到直线l的距离为d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当直线l的斜率不存在时，满足条件的直线方程为x=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知能求出△OEF的面积最大时弦长|GH|的取值范围．

解答 解：（1）∵椭圆C的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A，A'两点，|AA'|=$\sqrt{2}$．
∴设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
依题意有：$\left\{\begin{array}{l}e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\|{AA'}|=\frac{{2{b^2}}}{a}=\sqrt{2}\end{array}\right.$，
又a²=b²+c²，
解得：$a=\sqrt{2}，b=1，c=1$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）依题意：${S}_{△OEF}=\frac{1}{2}$|OE|•|OF|sin$∠EOF=\frac{1}{2}$sin∠EOF，
∴当$∠EOF=\frac{π}{2}$时，S_△OEF最大，此时|EF|=$\sqrt{2}$，
点O到直线l的距离为d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当直线l的斜率不存在时，满足条件的直线方程为x=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时|GH|=$\sqrt{3}$
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m
其中$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，于是2m²=1+k²，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$，
于是，由弦长公式可得：$|{GH}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}}）}^2}-4\frac{{2{m^2}-2}}{{2{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{1+{k^2}}}}{{2{k^2}+1}}\sqrt{16{k^2}+8-8{m^2}}$，
代入2m²=1+k²得$|{GH}|=\frac{{2\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{3{k^2}+1}}}{{2{k^2}+1}}$
令t=2k²+1≥1，则${k^2}=\frac{t-1}{2}$代入上式得：$|{GH}|=\sqrt{\frac{{3{t^2}+2t-1}}{t^2}}=\sqrt{-\frac{1}{t^2}+\frac{2}{t}+3}$，
由于t≥1，所以$0＜\frac{1}{t}≤1$，于是$\sqrt{3}＜|{GH}|≤2$
综上所述：$\sqrt{3}≤|{GH}|≤2$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查△OEF的面积最大时弦长|GH|的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．