Question

11．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别是PA，PD边上的中点，且PD=AB=2．
（1）求EF∥平面PBC；
（2）求四棱锥P-ABCD的表面积．

Answer 1

分析 （1）利用中位线定理和平行公理即可得出EF∥BC，从而EF∥平面PBC；
（2）证明BC⊥平面PCD，AB⊥平面PAD，故而AB⊥PA，BC⊥PC，于是四个侧面全为直角三角形，从而可求得表面积．

解答 证明：（1）∵E，F分别是PA，PD边上的中点，
∴EF∥AD，又AD∥BC，
∴EF∥BC，又EF?面PBC，BC?面PBC，
∴EF∥平面PBC．
（2）∵PD⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥CD，PD⊥BC，
又BC⊥CD，CD∩PD=D，
∴BC⊥平面PCD，∵PC?平面PCD，
∴BC⊥PC，同理可得AB⊥PA．
∴棱锥的四个侧面均为直角三角形，
∵PD=AB=2，底面ABCD是正方形，
∴PA=PC=2$\sqrt{2}$，
∴S_△PAD=S_△PCD=$\frac{1}{2}×2×2$=2，S_底面ABCD=2²=4，
S_△PAB=S_△PBC=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．
∴四棱锥P-ABCD的表面积S=2S_△PDA+2S_△PAB+S_{正方形ABCD}=8+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥表面积的计算，属于中档题．