Question

1．已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$），λ∈[0，+∞），则直线AP一定过△ABC的（　　）

• A． 重心
• B． 垂心
• C． 外心
• D． 内心

Answer 1

分析 由已知条件画出草图，利用数形结合思想求解．

解答 解：如图，取BC的中点P并连结AD，
则$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AP}$，
∵$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$），λ∈[0，+∞），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AD}$，即A、P、D三点共线，
又∵AD为BC边上的中线，
∴直线AP一定过△ABC的重心，
故选：A．

点评 本题考查平面向量的线性运算性质及其几何意义，注意解题方法的积累，属于基础题．