Question

8．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意确定出c与e的值，利用离心率公式求出a的值，进而求出b的值，确定出椭圆方程即可；
（2）由直线AB与CD向量存在，设为k，表示出AB方程，设出A与B坐标，进而表示出M坐标，联立直线AB与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出M，同理表示出N，根据M与N横坐标相同求出k的值，得到此时MN斜率不存在，直线MN恒过定点；若直线MN斜率存在，表示出直线MN斜率，进而表示出直线MN，令y=0，求出x的值，得到直线MN恒过定点，综上，得到直线MN恒过定点，求出定点坐标即可；
（3）根据P坐标，得到OP的长，由OF-OP表示出PF长，三角形MNF面积等于三角形PMF面积加上三角形PNF面积，利用基本不等式求出面积的最大值即可．

解答 解：（1）由题意：c=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）∵AB，CD斜率均存在，
∴设直线AB方程为：y=k（x-1），
再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，k（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-1）），
联立得：$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x^2}+2{y^2}-2=0}\end{array}}\right.$，
消去y得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}}\end{array}}\right.$，即M（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$），
将上式中的k换成-$\frac{1}{k}$，同理可得：N（$\frac{2}{2+{k}^{2}}$，$\frac{k}{2+{k}^{2}}$），
若$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2}{2+{k}^{2}}$，解得：k=±1，直线MN斜率不存在，
此时直线MN过点（$\frac{2}{3}$，0）；
下证动直线MN过定点P（$\frac{2}{3}$，0），
若直线MN斜率存在，则k_MN=$\frac{\frac{-k}{1+2{k}^{2}}-\frac{k}{2+{k}^{2}}}{\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-\frac{2}{2+{k}^{2}}}$=$\frac{-k（3{k}^{2}+3）}{2{k}^{4}-2}$=$\frac{3}{2}$×$\frac{-k}{{k}^{2}-1}$，
直线MN为y-$\frac{k}{2+{k}^{2}}$=$\frac{3}{2}$×$\frac{-k}{{k}^{2}-1}$（x-$\frac{2}{2+{k}^{2}}$），
令y=0，得x=$\frac{2}{2+{k}^{2}}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{{k}^{2}-1}{2+{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{3+{k}^{2}-1}{2+{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
综上，直线MN过定点（$\frac{2}{3}$，0）；
（3）由第（2）问可知直线MN过定点P（$\frac{2}{3}$，0），
故S_△FMN=S_△FPM+S_△FPN=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$|$\frac{k}{2+{k}^{2}}$|+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$|$\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{（|k|+\frac{1}{|k|}）}{2{k}^{2}+\frac{2}{{k}^{2}}+5}$，
令t=|k|+$\frac{1}{|k|}$∈[2，+∞），S_△FMN=f（t）=$\frac{1}{2}$×$\frac{t}{2（{t}^{2}-2）+5}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{t}{2{t}^{2}+1}$，
∴f（t）在t∈[2，+∞）单调递减，
当t=2时，f（t）取得最大值，即S_△FMN最大值$\frac{1}{9}$，此时k=±1．

点评 此题考查了椭圆的简单性质，根与系数的关系，中点坐标公式，以及直线两点式方程，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．