Question

18．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，且焦点到渐近线的距离为$\sqrt{3}$，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}-{y^2}$=1
• B． $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{12}$=1
• C． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}$=1
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{4}$=1

Answer 1

分析 根据双曲线渐近线方程以及焦点到渐近线的距离建立方程关系求出a，b的值，即可得到结论．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，即$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2b，
设双曲线的一个焦点F（c，0），则焦点到渐近线bx-ay=0的距离d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{bc}{c}$=b，
∵焦点到渐近线的距离为$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{3}$，则a=2$\sqrt{3}$，
则双曲线的方程为$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}$=1，
故选：C．

点评 本题主要考查双曲线的方程的求解，根据双曲线渐近线方程以及焦点到渐近线的距离建立方程关系求出a，b的值是解决本题的关键．