Question

8．当0＜x＜$\frac{π}{2}$时，函数f（x）=$\frac{4tan\frac{x}{2}（1+cos2x）}{1-ta{n}^{2}\frac{x}{2}}$的最大值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 逆用二倍角的正切与二倍角的余弦、正弦，可化简f（x）=$\frac{4tan\frac{x}{2}（1+cos2x）}{1-ta{n}^{2}\frac{x}{2}}$=2sin2x，再结合已知0＜x＜$\frac{π}{2}$，利用正弦函数的有界性可得答案．

解答 解：∵0＜x＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜2x＜π，
∴0＜sin2x≤1，
∴f（x）=$\frac{4tan\frac{x}{2}（1+cos2x）}{1-ta{n}^{2}\frac{x}{2}}$=2（1+cos2x）•tanx=4cos²x•$\frac{sinx}{cosx}$=2sin2x≤2，
当且仅当x=$\frac{π}{4}$时取到“=”，
故选：B．

点评 本题考查三角函数的化简求值，逆用二倍角的正切、余弦、正弦，化简f（x）=2sin2x是关键，考查转化思想与整体运用能力，属于中档题．