Question

20．已知函数f（x）=xe^x-k（x+1）²，（k∈R）
（1）k=$\frac{e}{2}$时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）在R上只有一个零点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而得到函数的极值；
（2）若f（x）在R上只有一个零点，分类讨论，取得函数的单调性，即可求k的取值范围．

解答 解：（1）k=$\frac{e}{2}$时，f（x）=xe^x-$\frac{e}{2}$（x+1）²，
∴f′（x）=（e^x-e）（x+1），
令f′（x）=（e^x-e）（x+1）＞0，可得x＜-1或x＞0，f′（x）=（e^x-e）（x+1）＜0，可得-1＜x＜0，
∴函数的单调递增区间是（-∞，-1），（0，+∞），单调递减区间是（-1，0），
∴x=-1时，函数取得极大值f（-1）=-$\frac{1}{e}$，x=0时，函数取得极小值f（0）=-$\frac{e}{2}$；
（2）f′（x）=（e^x-2k）（x+1），
若k≤0，f′（x）=（e^x-2k）（x+1）＞0，可得x＜-1，f′（x）=（e^x-2k）（x+1）＜0，可得x＞-1，
∴函数的单调递增区间是（-∞，-1），单调递减区间是（-1，+∞），
∴x=-1时，函数取得极大值f（-1）=-$\frac{1}{e}$＜0，函数无零点；
若k＞0，f′（x）=（e^x-2k）（x+1）=0，可得x=-1或x=ln2k，
∴函数的极值点是-1，ln2k，
∵f（x）在R上只有一个零点，f（-1）=-$\frac{1}{e}$＜0，
∴f（ln2k）＜0，
∴2kln2k-k（ln2k+1）²＜0，
∴ln²2k+1＞0恒成立，
综上所述，k＞0．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．