Question

9．α为锐角，若cos（α+$\frac{π}{6}}$）=$\frac{4}{5}$，则sin（$\frac{2π}{3}-2α}$）=$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 利用二倍角公式求得cos2（α+$\frac{π}{6}}$）的值，利用同角三角函数的基本关系求得sin（2α+$\frac{π}{3}$）的值，再利用诱导公式求得sin（$\frac{2π}{3}-2α}$）的值．

解答 解：α为锐角，∵cos（α+$\frac{π}{6}}$）=$\frac{4}{5}$，∴α+$\frac{π}{6}$为锐角，
∵cos2（α+$\frac{π}{6}$）=cos（2α+$\frac{π}{3}$）=2${cos}^{2}（α+\frac{π}{6}）$-1=$\frac{7}{25}$，∴2α+$\frac{π}{3}$也是锐角，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（2α+\frac{π}{3}）}$=$\frac{24}{25}$，
sin（$\frac{2π}{3}-2α}$）=sin[π-（2α+$\frac{π}{3}$）]=sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{24}{25}$，
故答案为：$\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的余弦公式的应用，属于基础题．