Question

2．△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a-bsin（$\frac{π}{2}$-C）=c•sinB．
（1）求B；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、和差公式可得cosBsinC=sinCsinB，又sinC≠0，化为tanB=1，即可得出．
（2）利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由a-bsin（$\frac{π}{2}$-C）=c•sinB，利用正弦定理可得：sinA-sinBcosC=sinCsinB，∴sin（B+C）-sinBcosC=sinCsinB，∴cosBsinC=sinCsinB，
∵sinC≠0，∴tanB=1，B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{4}$．
（2）由余弦定理可得：2²=a²+c²-2accos$\frac{π}{4}$≥2ac-$\sqrt{2}$ac，当且仅当a=c时取等号．
化为：ac≤4+2$\sqrt{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×（4+2\sqrt{2}）$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．