Question

14．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，若点P为曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，（α为参数）上的动点，其中参数α∈[0，2π]．
（1）试写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；
（2）求点P到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）由ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，展开ρsinθ-$\sqrt{3}$ρcosθ=2$\sqrt{3}$，利用互化公式即可得出直线l的直角坐标方程．曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，且参数α∈[0，2π]，利用三角函数基本关系式的平方关系消去参数α可知曲线C的普通方程．
（2）由（1）点P的轨迹方程为（x-2）²+y²=4，圆心为C（2，0），半径为2．利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线l的距离d，可得点P到直线l距离的最大值为d+r．

解答 解：（1）∵ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，∴ρsinθ-$\sqrt{3}$ρcosθ=2$\sqrt{3}$，
∴直线l的直角坐标方程为：y-$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$．
曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，且参数α∈[0，2π]，
消去参数α可知曲线C的普通方程为：（x-2）²+y²=4．
（2）由（1）点P的轨迹方程为（x-2）²+y²=4，圆心为C（2，0），半径为2．
圆心C到直线l的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}-0+2\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}$=2$\sqrt{3}$，
∴点P到直线l距离的最大值为$2\sqrt{3}$+2．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．