Question

11．已知点F（1，0），点A是直线l₁：x=-1上的动点，过A作直线l₂，l₁⊥l₂，线段AF的垂直平分线与l₂交于点P．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若点M，N是直线l₁上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x²+y²=1，直线PF的斜率为k，求$\frac{|k|}{|MN|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l₁的距离，从而点P的轨迹是以点F为焦点，直线l₁：x=-1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），点M（-1，m），点N（-1，n），直线PM的方程为（y₀-m）x-（x₀+1）y+（y₀-m）+m（x₀+1）=0，△PMN的内切圆的方程为x²+y²=1，圆心（0，0）到直线PM的距离为1，由x₀＞1，得（x₀-1）m²+2y₀m-（x₀+1）=0，同理，$（{x}_{0}-1）{n}^{2}+2{{y}_{0}n-（{x}_{0}+1）=0}^{\;}$，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出$\frac{|k|}{|MN|}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l₁：x=-1上的动点，过A作直线l₂，l₁⊥l₂，线段AF的垂直平分线与l₂交于点P，
∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l₁的距离，
∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l₁：x=-1为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为y²=4x．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），点M（-1，m），点N（-1，n），
直线PM的方程为：y-m=$\frac{{y}_{0}-m}{{x}_{0}+1}$（x+1），
化简，得（y₀-m）x-（x₀+1）y+（y₀-m）+m（x₀+1）=0，
∵△PMN的内切圆的方程为x²+y²=1，
∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即$\frac{|{y}_{0}-m+m（{x}_{0}+1）|}{\sqrt{（{y}_{0}-m）^{2}+（{x}_{0}+1）^{2}}}$=1，
∴$（{y}_{0}-m）^{2}+（{x}_{0}+1）^{2}$=$（{y}_{0}-m）^{2}+2m（{y}_{0}-m）（{x}_{0}+1）+{m}^{2}$$（{x}_{0}+1）^{2}$，
由题意得x₀＞1，∴上式化简，得（x₀-1）m²+2y₀m-（x₀+1）=0，
同理，有$（{x}_{0}-1）{n}^{2}+2{{y}_{0}n-（{x}_{0}+1）=0}^{\;}$，
∴m，n是关于t的方程（x₀-1）t²+2y${{\;}_{0}}^{\;}$t-（x₀+1）=0的两根，
∴m+n=$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，mn=$\frac{-（{x}_{0}+1）}{{x}_{0}-1}$，
∴|MN|=|m-n|=$\sqrt{（m+n）^{2}-4mn}$=$\sqrt{\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-1）^{2}}+\frac{4（{x}_{0}+1）}{{x}_{0}-1}}$，
∵${{y}_{0}}^{2}=4{x}_{0}$，|y₀|=2$\sqrt{{x}_{0}}$，
∴|MN|=$\sqrt{\frac{16{x}_{0}}{（{x}_{0}-1）^{2}}+\frac{4（{x}_{0}+1）}{{x}_{0}-1}}$=2$\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}-1}{（{x}_{0}-1）^{2}}}$，
直线PF的斜率$k=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，则k=|$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$|=$\frac{2\sqrt{{x}_{0}}}{|{x}_{0}-1|}$，
∴$\frac{|k|}{|MN|}$=$\sqrt{\frac{{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}-1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}+4}}$，
∵函数y=x-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上单调递增，
∴${x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}＞1-1=0$，
∴$0＜\frac{1}{{x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}+4}＜\frac{1}{4}$，
∴0＜$\frac{|k|}{|MN|}$＜$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{|k|}{|MN|}$的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线定义、椭圆性质、韦达定理、弦长公式、直线斜率的合理运用．