Question

16．已知等差数列{a_n}中，a₁＞0，公差d＞0，
（Ⅰ）已知a₁=1，d=2，且$\frac{1}{a_1^2}$，$\frac{1}{a_4^2}$，$\frac{1}{a_m^2}$成等比数列，求正整数m的值；
（Ⅱ）求证：对任意n∈N^*，$\frac{1}{a_n}$，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，$\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$都不成等差数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据a₁=1，d=2，且$\frac{1}{a_1^2}$，$\frac{1}{a_4^2}$，$\frac{1}{a_m^2}$成等比数列，建立方程，即可求正整数m的值；
（Ⅱ）假设存在正整数n∈N^*，使$\frac{1}{a_n}，\frac{1}{{{a_{n+1}}}}，\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$成等差数列，证明d=0，与已知d＞0矛盾，故假设不成立，从而对任意n∈N^*，$\frac{1}{a_n}$，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，$\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$都不成等差数列．

解答 （Ⅰ）解：a₄=7，a_m=2m-1，∴$1•\frac{1}{{{{（2m-1）}^2}}}={（\frac{1}{7^2}）^2}$，∴2m-1=49，m=25，
（Ⅱ）证明：假设存在正整数n∈N^*，使$\frac{1}{a_n}，\frac{1}{{{a_{n+1}}}}，\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$成等差数列，
则$\frac{2}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+2}}}}$，即$\frac{2}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{{a_{n+1}}-d}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}+d}}=\frac{{2{a_{n+1}}}}{{a_{_{n+1}}^2-{d^2}}}$，
∴d=0，这与已知d＞0矛盾，故假设不成立，原结论成立．

点评 本题考查等差数列、等比数列的性质，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．