如图，在棱长为
的正方体
中，点
是棱
的中点，点
在棱
上，且满足
.
（1）求证：
；
（2）在棱
上确定一点
，使
、、、四点共面，并求此时
的长；
（3）求平面
与平面
所成二面角的余弦值.
（1）详见解析；（2）
；（3）
.
解析试题分析：本题有两种方法，第一种是传统方法：（1）连接
，先由正方体的性质得到
，以及
平面
，从而得到
，利用直线与平面垂直的判定定理可以得到
平面
，于是得到；（2）假设四点、、、四点共面，利用平面与平面平行的性质定理得到
，
，于是得到四边形
为平行四边形，从而得到
的长度，再结合勾股定理得到
的长度，最终得到的长度；（3）先延长
、
交于点
，连接
，找出由平面与平面所形成的二面角的棱，借助
平面，从点
在平面内作
，连接
，利用三垂线法得到
为平面与平面所形成的二面角的的平面角，然后在直角
中计算的余弦值；
第二种方法是空间向量法：（1）以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，确定
与
的坐标，利用
来证明
，进而证明；（2）先利用平面与平面平行的性质定理得到
，然后利用空间向量共线求出点的坐标，进而求出的长度；（3）先求出平面和平面的法向量，结合图形得到由平面和平面所形成的二面角为锐角，最后再利用两个平面的法向量的夹角来进行计算.
试题解析：（1）如下图所示，连接，
由于为正方体，所以四边形为正方形，所以，
且平面，
，
，
平面，
平面，
；
（2）如下图所示，假设、、、
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示,已知三棱柱ABC
A1B1C1,
(1)若M、N分别是AB,A1C的中点,求证:MN∥平面BCC1B1;
(2)若三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2,∠B1BA=∠B1BC=60°,P为线段B1B上的动点,当PA+PC最小时,求证:B1B⊥平面APC.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别为AA1、CC1的中点，AC⊥BE，点F在线段AB上，且AB＝4AF.若M为线段BE上一点，试确定M在线段BE上的位置，使得C1D∥平面B1FM.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示,四边形EFGH所在平面为三棱锥A-BCD的一个截面,四边形EFGH为平行四边形.
(1)求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH.
(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝
AB＝1，M是PB的中点．
(1)求证：AM＝CM；
(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB＝2AE.
(1)求证：AB∥平面CDE；
(2)求证：平面ABCD⊥平面ADE.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：OM∥平面PAB；
(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(3)当四棱锥P-ABCD的体积等于
时，求PB的长．
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中，已知
，
的直径
，点
在底面圆周上，且
，
为
的中点．
平面
；
到面
的距离.
中，
，
是
中点，
是
中点.
；
∥面
.