Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形。已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°。

（Ⅰ）证明：AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角P-BD-A的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设，可得， 于是AD⊥PA， 在矩形ABCD中，AD⊥AB， 又PA∩AB=A， 所以，AD⊥平面PAB。 （Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角， 在△PAB中，由余弦定理得 ， 由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB平面PAB， 所以AD⊥PB，因而BC⊥PB， 于是△PBC是直角三角形， 故， 所以，异面直线PC与AD所成的角的余弦值为。
（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE， 因为AD⊥平面PAB，PH平面PAB， 所以AD⊥PH， 又AD∩AB=A， 因而PH⊥平面ABCD， 故HE为PE在平面ABCD内的射影， 由三垂线定理可知， BD⊥PE， 从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角。 由题设，可得 于是在Rt△PHE中，，所以二面角P-BD-A的余弦值为。