Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足

BF1

=

F1F2

，AB⊥AF₂．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率．
（Ⅱ）D是过A，B，F₂三点的圆上的点，D到直线l：x-

3

y-3=0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）设B（x₀，0），由F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b），由

BF1

=

F1F2

，可得x₀=-3c．由AB⊥AF₂，可得

AB

•

AF2

=-3c²+b²=0，再利用a²=b²+c²．即可得出．
（II）由（1）知

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a．由题意知△ABF₂为直角三角形，BF₂为斜边，△ABF₂的外接圆圆心为F₁（-

1

2

a，0），半径r=a．D到直线l：x-

3

y-3=0的最大距离等于2a，圆心到直线的距离为a，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答： 解：（I）设B（x₀，0），由F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b），
∵满足

BF1

=

F1F2

，
∴（-c-x₀，0）=（2c，0），∴-c-x₀=2c．
解得x₀=-3c．
∵AB⊥AF₂，

AB

=（-3c，-b），

AF2

=（c，-b）．
∴

AB

•

AF2

=-3c²+b²=0，
∴a²=b²+c²=4c²．
∴a=2c．
故椭圆C的离心率e=

1

2

．
（II）由（1）知

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a．
可得B(-

3

2

a，0)，F2(

1

2

a，0)．
由题意知△ABF₂为直角三角形，BF₂为斜边，
∴△ABF₂的外接圆圆心为F₁（-

1

2

a，0），半径r=a．
D到直线l：x-

3

y-3=0的最大距离等于2a，
∴圆心到直线的距离为a，
∴

|- 1 2 a-3|

1+(- 3 )2

=a，解得a=2，
解得c=1，b=

3

．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的外接圆的性质、点到直线的距离公式、直角三角形的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．